Question

xarcsinxdx的不定积分是什么？

Answer 1

xarcsinxdx的不定积分是：(x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C。推导过程如下：

∫ xarcsinx dx

= ∫ arcsinx d(x²/2)

= (x²/2)(arcsinx) - (1/2)∫ x²*(arcsinx)' dx

= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ x²/√(1-x²) dx

令x=siny，dx=cosydy

= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ sin²y/cosy * cosydy

= (x²arcsinx)/2 - (1/4)∫ (1-cos2y) dy

= (x²arcsinx)/2 - (1/4)(y-1/2*sin2y) + C

= (x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C