Question

若ab+bc+ac=1,求证√(a/bc)+√(b/ac)+√(c/ab)>=√3(√a+√b+√c)

Answer 1

左端=√(a/bc)+√(b/ac)+√(c/ab)=(a+b+c)/√(abc)
=√(a+b+c) * √(1/ab+1/bc+1/ac) (*)式
由于(a+b+c)*(1+1+1)>=(√a+√b+√c)^2 (柯西不等式）
即√(a+b+c)>=(√a+√b+√c)/√3 (1)式
又由于(ab+bc+ac)*(1/ab+1/bc+1/ac)>=9 (柯西不等式）
即(1/ab+1/bc+1/ac)>=9
即√(1/ab+1/bc+1/ac)>=3 (2)式
(1)式*(2)式得 (*)式>=√3(√a+√b+√c)
即左端>=右端