Question

如果微分方程可分离变量，求解微分方程的方法是什么？怎样解？

Answer 1

微分方程的解根据方程类型而定，以下为具体解法。

一、一阶微分方程

1.可分离变量方程

若一阶微分方程y'=f(x,y)可以写成dy/dx=p(x)q(y),则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx,两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。

2.齐次方程

将齐次方程通过代换将其化为可分离变量方程。令u=y/x,即y=ux,则dy/dx=u+x*du/dx,齐次方程dy/dx=φ（y/x）化为u+x*du/dx=φ(u)，分离变量得du/φ(u)-u=dx/x,两边积分

∫du/φ(u)-u=∫dx/x后即得齐次方程的通解。

3.一阶线性方程

对于一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为y= e ^-∫P（x）dx (∫Q(x)*e ^∫P（x）dx+C)

4.伯努利方程

伯努利方程y'+P(x)y=Q(x)y^n(n∈R,n≠0，1)的通解为z=y^1-n= e ^-∫(1-n)P（x）dx (∫(1-n)Q(x)*e ^∫(1-n)P（x）dx dx+C)

二、可降阶的二阶微分方程

1.  y”=f(x)型方程——缺y，y'
   对于此类方程，只要连续积分两次，即可得原方程的通解.

2. y”=f(x，y')型方程——缺y
   令y'=p，则y''=p'=dp/dx，原方程降为p(x)的一阶方程p'=f(x,p).设其通解为
   p=φ(x，C1)，即y'=φ(x，C1)，两边积分即可得原方程的通解y= ∫φ(x，C1)dx+C2.

3. y”=f(y，y’)型方程——缺x
   具体变换过程如下：
   令y'=p,则y''=p'=dp/dx=p*dp/dx,原方程降为一阶方程p*dp/dy=f(y,p)
   设其通解为p=φ(y，C1),分离变量有 dy /φ(y,C1)=dx，两边积分即得其通解为
   ∫dy/φ(y,C1)x+C2

三、二阶线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程y''+py'+qy=0，根据其特征方程r^2+pr+q=0根不同情况，其通解有以下三种形式：

(1)特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根 r1,r2时，通解为Y=C1e^r1x+C2e^r2x

(2)特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根r时，通解为Y=(C+C2x)e^rx

(3)特征方程r2+pr+q=0有一对共轭复根r=a±iβ时，通解为Y=e^αx *(C1cos βx+C2sin βx).