Question

满足方程,x^2+y^2+z^2=292的自然数解一共有？

Answer 1

用无穷递降法求解
因为所有自然数均可以写成2n（偶数）或2n+1（奇数）

且(2n)^2=0(mod4)，(2n+1)^2=1(mod4)
另外，292=0(mod4)
所以x,y,z必须都是偶数
令x=2a，y=2b，z=2c
a^2+b^2+c^2=73
因为73=1(mod4)，所以a,b,c是两偶一奇
不妨令a是奇数，a=2m+1，b=2p，c=2q
m^2+m+p^2+q^2=18
（1）若m=0，则p^2+q^2=18，得：p=q=3
（2）若m=1，则p^2+q^2=16，得：p=0，q=4或p=4，q=0
（3）若m=2，则p^2+q^2=12，无自然数解
（4）若m=3，则p^2+q^2=6，无自然数解
（4）若m>=4，则p^2+q^2<0，无自然数解
所以a=1，b=c=6或a=3，b=0，c=8或a=3，b=8，c=0
x=2，y=z=12或x=6，y=0，z=16或x=6，y=16，z=0
综上所述，
(x,y,z)=(2,12,12)、(12,2,12)、(12,12,2)、(6,0,16)、(6,16,0)、(0,6,16)、(0,16,6)、(6,16,0)、(16,6,0)