Question

设实数a,x,y,满足x+y=2a-1,x²+y²=a²+2a-3,则xy的取值范围

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

由题有a=（x+y+1）/2
带入第二个式子得到3x^2+3y^2-6(x+y)+7=2xy
考虑到x+y=2a-1，上式有x+y，为了和谐，配方得到
3（x+y）^2-6(x+y)+7=8xy得到一个关于x+y的二次式子
下面来找x+y的范围
将题目的方程理解成直线和团必有交点，即d（|2a-1|/根号2）＜等于半径R（根号下a^2+2a-3）
得到a属于[2-二分之根号2，2+二分之根号2]
因为x+y=2a-1，所以有x+y属于【3-根号2，3+根号2】
二次函数F（x+y）=3（x+y）^2-6(x+y)+7，x+y属于【3-根号2，3+根号2】
研究函数单调性有x+y=3-根号2时F（x+y）=8xy有最小值22-12倍根号2
x+y=3+根号2时F（x+y）=8xy有最大值22+12倍根号2
所以有xy最小值11/4-二分之3倍根号2
最大值11/4+二分之3倍根号2，即xy属于【11/4-二分之3倍根号2，11/4+二分之3倍根号2 】