Question

常系数非齐次线性微分方程的特解怎么推广到n阶？

有没有大神能帮我写一下这个过程？2阶的能看明白，就是推广这块有点麻烦。考研模拟题出了3阶的。不带三角函数那个我想看看自己推广的对不对，带三角函数的我实在是炸毛了。

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Answer 1

常系数非齐次线性微分方程的特解怎么推广到n阶？

n阶常系数非齐次线性微分方程的特解可以通过对其求解步骤进行推广来实现。

1. 首先，将n阶常系数非齐次线性微分方程化为标准形式：$y^{(n)} a_{1}y^{(n-1)} … a_{n-1}y' a_ny=f(x)$。

2. 然后，使用一般解法来找出基本解集 $ y_c = \{ c_1e^{\lambda_11},c_2e^{\lambda_21},\cdots,c_ne^{\lambda _nn}\}$, 其中 $\lambda _i (i=1,2,\ldots , n)$ 为已求得的根。
3. 接下来，在基本解集上应用叠加原理，将特定的多项式 $P(\lambda ) = a_{0}\prod \limits_{j= 1 }^{ n }(\lambda - \lambda _j )$ 加入到基本解集中去，即考察 $ y = P(\lambda ) c_{ 1 }e ^{ \ lambda _ { 1 } x } c_{ 2 } e ^{ \ lambda _ { 2 }}x … c_{ n } e ^{ \ lambda _ { n }}x$. 考察证明可以省略。
4. 最后，再将此形式代入原方程中 （或者说是代入原方程的一般形式 $$u''' p(x)u'' q(x)u' (r(x)-\mu p)\ u=0$$ ） 得出相应的常数 $c_i (i=1,2,\ldots , n),$ 作为特解之一。