Question

sint的积分

Answer 1

证明这个函数的在整个定义域内连续,可导,可积省略.

下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0）

因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.

I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0）

显然：

I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）

I`(x)=∫?（e^(-xt)sint/t)/?x dt (积分上限为∞,下限为0）

=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分冲袜上限为∞,下限为0）

=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0）

=-1/(1+x^2)

从而有

I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)

|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|

≤∫|e^(-xt)sint/t|dt

≤∫e^(-xt)dt

=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0）

=1/x －－>0 (x－－>+∞)

即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)

对（1）式两端取极限：

lim(I(x))(x－－>+∞)

=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)

=-π/2+C

即有0=-π/2+C,可得C=π/2

于是（1）式为

I(x）=-arctan(x)+π/2

limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)

I(0)=π/2

所以有

I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）=π/2

因为sinx/x是偶函数睁银,所以

∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞）

=π

这散早激个地方些数学公式很是不方便的.另外也可以用复变函数来求解的.如果有不懂的地方问我.

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