怎样正确画出函数的图象?

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2022-12-29
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一、正弦函数的图象与性质

1、正弦函数图象的作法:

(1)描点法:关键是选定一个周期,把这个周期分成四等份,根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点,确定函数图象的大致形状;

(2)几何法:一般是用三角函数线来作出图象。

注意:①的图象叫正弦曲线;②作图象时自变量要用弧度制;③在对精确度要求不太高时,作的图象一般使用“五点法”。

2、正弦函数的性质

(1)定义域为,值域为;

(2)周期性:正弦函数具有周期性,这可由诱导公式来推导,其最小正周期是。函数的最小正周期是;

(3)奇偶性:奇函数;

(4)单调性:在每一个闭区间,上为增函数,在每一个闭区间,上为减函数。

3、周期函数

函数周期性的定义:对于函数y=,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数y=就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期。

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做函数y=的最小正周期。

4、关于函数的图象和性质

(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期;

(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期;

(3)函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。

5、正弦型图象的变换方法

(1)先平移后伸缩

的图象的图象

的图象

的图象

的图象。

(2)先伸缩后平移

的图象的图象

的图象

的图象

的图象。

二、余弦函数、正切函数的图象与性质

1、余弦函数的图象和性质

(1)由函数可知,用平移变换法可以得到余弦函数的图象,也可以使用“五点法”得到,同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。

(2)余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。

2、正切函数与正、余弦函数的比较

(1)正切函数的定义域不是全体实数,这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别;

(2)正、余弦函数是有界函数,而正切函数是无界函数;

(3)正、余弦函数是连续函数,反映在图象上是连续无间断的点;而正切函数在定义域上不连续,它有无数条渐近线(垂直于x轴的直线),其图象被这些渐近线分割开来;

(4)正、余弦函数的图象既是中心对称图形(对称中心分别为),又是轴对称图形(对称轴分别为);而正切函数的图象只是中心对称图形,其对称中心为;

(5)正、余弦函数既有单调递增区间,又有单调递减区间;而正切函数只有单调递增区间,即正切函数,在每一个区间上都是单调递增函数。

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