Question

f’’(x)<=0与f’’(x)<0,极值的第二充分条件有什么区别

Answer 1

、若f”(x0)<0，则f在点x0取得极大值；
2、若f”(x0)>0，则f在点x0取得极小值.
这个定理的证明，就没有第一充分条件那么简单了。由于f在x0二阶可导，所以在x=x0的泰勒展开式有二阶形式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)^2/2+o((x-x0)^2). 就算有高阶导函数，也可以取二阶泰勒展开式的形式的。
而在它的二阶泰勒展开式中的f'(x0)=0，所以移项后可以得到f(x)-f(x0)=f”(x0)(x-x0)^2/2+o((x-x0)^2).接下来是最关键的一步。等式右边可以提取公因式(x-x0)^2, 得到：
f(x)-f(x0)=[f”(x0)/2+o(1)](x-x0)2. 其中o((x-x0)^2除以(x-x0)^2得到o(1)，可以理解为比1阶无穷小还要高阶的无穷小.
而f"(x0)不等于0， 由极限的保不等式性，就可以知道, 存在正数δ’≤δ，使得，当x∈U(x0,δ’)时， f”(x0)/2与f”(x0)/2+o(1)同号. 很多学过这个定理的小伙伴，都不知道这一步是怎么来的。因为教材并没有告诉我们，它依据的是极限的保不等式性。
因为o(1)的本质是一个极限，它对应着一个连续的函数g(x), 表示的是当x->x0时，limg(x)=0，那么不管f"(x0)是正数，或是负数，都能找到一个区间U(x0,δ’)，使得在这个区间上都有f”(x0)/2>g(x)，从而保证两者的和与f”(x0)/2同号. 这是有理数的加法运算法则。同号两数相加，取相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号。
即，当f”(x0)<0时, f(x)-f(x0)<0,即f(x)<f(x0), f在点x0取得极大值. 当 f”(x0)>0时, f(x)-f(x0)>0,即f(x)>f(x0), f在点x0取得极小值.
接下来来看一道例题，通过应用，来理解这个定理的内涵。

Answer 2

、第一充分条件：
（1）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＞0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＜0，则f（x）在x₀处取得极大值。
（2）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＜0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＞0，则f（x）在x₀处取得极小值。
（3）如果当x∈（x₀-δ，x₀）及x∈（x₀，x₀+δ）时，f'（x）符号相同，则f（x）在x₀处无极值。
2、第二充分条件：
设f（x）在x₀处具有二阶导数，且f'（x₀）=0，f''（x₀）≠0，那么当f''（x₀）＜0时，函数f（x）在x₀处取得极大值；当f''（x₀）＞0，函数f（x）在x₀处取得极小值。