Question

拉格朗日余项的泰勒公式是多少?

Answer 1

拉格朗日（Lagrange）余项：

，其中θ∈（0,1）。

拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确。

证明：

根据柯西中值定理：

其中θ1在x和x0之间；继续使用柯西中值定理得到：

其中θ2在θ1和x0之间；连续使用n+1次后得到：

其中θ在x和x0之间；同时：

进而：

综上可得：

扩展资料

泰勒公式的不同余项表达形式有：

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

参考资料百度百科-泰勒公式