Question

设函数y=x³(x-4) 求单调区间与极值 凹凸区间与拐点

Answer 1

f（x）＝x＾4一4x＾3，

f＇（x）＝4x＾3一12x＾2

＝4x＾2（x一3），

f＂（x）＝12x＾2一24x

＝12x（x一2）。

f（x）在（一∝，3）上单减，在（3，＋∝）上单增。

当x＝0，x＝2时，是拐点。

Answer 2

y = x³(x-4) = x^4 - 4x^3
y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3), 得驻点 x = 3， x = 0.
y' 在 x = 0 两端 不变号， x = 0 不是极值点。
y'' = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)
y''(3) = 36 > 0, x = 3 是函数极小值点， 极小值 y(3) = -27.
函数单调减少区间（-∞，3），单调增加区间 （3，+∞）。
令 y'' = 0, 得 x = 0， x = 2，
y' 在 x = 0 两端变号，在 x = 2 两端变号，
故得函数曲线拐点 O(0, 0), P(2, -16)
函数曲线凹区间（-∞，0)∪(2，+∞），凸区间 （0，2）。