Question

∫e^ x* sinxdx=什么？

Answer 1

e^x*sinx的不定积分为e^x*(sinx-cosx)/2+C。

解：∫e^x*sinxdx

=∫sinxd(e^x)

=e^x*sinx-∫e^xd(sinx)

=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxd(e^x)

=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xd(cosx)

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

那么可得，2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx

所以∫e^x*sinxdx=e^x*(sinx-cosx)/2+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。