什么是微分中值定理
微分中值定理是一系列中值定理总称,是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理,可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
一、罗尔定理
内容:如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.
几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。
二、拉格朗日定理
内容:如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0。
几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。
三、达布定理
内容:若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值。
推广:若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。
2024-10-13 广告
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