Question

卡方分布的性质

Answer 1

卡方分布的性质是由于 χ p 2 \chi^2_pχ p2 分布是 α = p / 2 \alpha = p / 2α=p/2, β = 2 \beta = 2β=2 的 g a m m a gammagamma 分布，故我们可以直接套用 g a m m a gammagamma 分布的期望与方差公式。

E χ p 2 ( X ) = p , Var χ p 2 ( X ) = 2 p \mathbb{E}_{\chi^2_p}(X) = p, \text{Var}_{\chi^2_p}(X) = 2pE χ p2(X)=p,Var χ p2(X)=2p

另外，根据独立 g a m m a gammagamma 分布的相加性的性质，我们有对于独立的 χ p 2 \chi^2_pχ p2分布 X i ∼ χ p i 2 X_i \sim \chi^2_{p_i}X i ∼χ p i2 ，那么 ∑ X i ∼ χ ∑ p i 2 \displaystyle \sum X_i \sim \chi^2_{\sum p_i}∑X i ∼χ ∑p i2 。

即 n nn 个独立的 χ 2 \chi^2χ 2分布的和仍然是一个 χ 2 \chi^2χ 2分布，加和分布的自由度等于所有自由度的和。

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。