Question

5.质量 m=1kg 的质点受到与速率成正比的阻力作用 f=-0.2v求:需多长时间能使速度减半？

Answer 1

根据题目给出的阻力公式 f=-0.2v，我们可以将其代入牛顿第二定律的公式 F=ma 中。其中 F 是阻力，m 是质量，a 是加速度。

根据题目可得 F = -0.2v = ma

由于质量 m 是常数，可以得到 a = -0.2v/m

求速度减半即为 v/2，代入上式可得 -0.2(v/2)/m = -0.1v/m

根据牛顿第二定律 F = ma，可知 -0.1v/m = ma

将等式两边的 m 消去，得到 -0.1v = av

整理得到 -0.1 = a

可以看出加速度 a 是恒定的，所以该质点的加速度不会随速度发生变化。

根据匀加速运动的公式 v = u + at ，其中 v 是末速度，u 是初速度，a 是加速度，t 是时间。

根据题目可得末速度为 v/2，初速度为 v，加速度为 -0.1，将这些值代入可得 v/2 = v - 0.1t

移项得 0.1t = v - v/2 = v/2

化简得到 t = (v/2) / 0.1 = 5v

所以，需要的时间为 5v，其中 v 是速度。

Answer 2

由于阻力随速度的变化而变化，所以质点是做加速度变化的变速运动。根据牛顿第二定律可知
f=ma=m*dV/dt ，
即 -0.2V=1*dV/dt=dV/dt ，
dt=-5*dV/V（各物理量的单位都是SI制的单位）。
速度从V₀减小到V₀/2所用时间是T，则有 T=-5∫dV/V=-5*lnV ，
把V的积分区间 V₀到V₀/2代入上式，得 T=-5*[ln（V₀/2）-lnV₀]
=-5*ln（1/2）
=5*ln2
≈3.5（秒）。