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微分方程的初值问题
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考虑一阶常微分方程的初值问题只要 连续,且关于 满足Lipschitz(利普希茨)条件,即存在常数 ,使对任意的 都成立,则初值问题存在唯一解。
虽然解是存在的,但是很多时候解析形式写不出来,那么数值解就是要找到一个解函数 ,使得在一系列点 处都有。也就是说要找到函数的一个离散形式。局部截断误差就是在假设 精确成立的情况下的误差阶衡量的是局部截断误差的主项次数。
微分方程初值条件是题目给出的数据,边界值条件给出的范围。微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
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