Question

2.求下列函数的条件极值: f(x,y,z)=2(xy+xz+yz) 在条件 xyz=1 下的极值

Answer 1

利用拉格朗日乘数法求条件极值
做拉格朗日函数L=2(xy+xz+yz)+λ(xyz-1)
令L对x,y,z和λ的一阶偏导数等于零
Lx=2y+2z+λyz=0
Ly=2x+2z+λxz=0
Lz=2x+2y+λxy=0
Lλ=xyz-1=0
因为xyz=1，所以x，y，z都不为0，把Lx等式两边同除以2yz得，1/z+1/y+λ/2=0，1/z+1/y=-λ/2，同理可得1/z+1/x=-λ/2，1/y+1/x=-λ/2
所以1/z+1/y=1/z+1/x，1/y=1/x，x=y，同理1/z+1/y=1/y+1/x，1/z=1/x，x=z
所以x=y=z，代入Lλ得x=y=z=1，极值是2(1+1+1)=6

Answer 2

由轮换性得 x = y = z = 1 时， 条件极值是 f = 6