Question

定积分换元公式

Answer 1

定积分换元公式是∫baf(x)dx=∫βαf([φ(t)])φ′(t)dt。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足条件：(1)φ(α)=a,φ(β)=b。(2)φ(t)在[α,β](或

[β,α])上具有连续导数，且值域Rφ=[a,b]，则有∫baf(x)dx=∫βαf([φ(t)])φ′(t)dt。

证明：

设F′(x)=f(x)，则∫baf(x)dx=F(b)−F(a)设Φ(t)=F(φ(t))，则Φ′(t)=F′(φ(t))φ′(t)=f(φ(t))φ′(t)。

从而∫βαf[φ(t)]φ′(t)dt=Φ(t)∣∣βα=Φ(β)−Φ(α)=F(φ(β))−F(φ(α))=F(b)−F(a)。

∴∫baf(x)dx=∫βαf[φ(t)]φ′(t)dt。

令x=φ(t)，dx=φ′(t)dt，∫βαf(φ(t))⋅φ′(t)dt。

注意事项：

1、当积分表达式中含有根式，分式等形式时，可以利用换元法进行积分，试题中一般会指定表达式中的某一部分作为替换的部分。在利用换元法做定积分题目时一定要注意更改相应的定积分上下限。

2、当遇到两部分函数相乘的形式作为被积函数，可以考虑使用分部积分的方法。注意选择合适的部分作为公式的u，另一部分即为dv/dx，这点也需要多加注意。

3、定积分的换元积分法要记得积分上下限的改变，若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂．所以需要先用换元法。