Question

实二次型的规范型

Answer 1

实二次型的规范型指：实数域上的二次型，任意实二次型f(x1，x2，…，xn)都可以通过实满秩线性代换化为形如y²1+…+y²p-y²p+1-…-y²r的标准形。

这种标准形称为实二次型f的规范型或正规型，其中r是f的秩，正平方项个数p称为f的正惯性指数，负平方项个数q=r-p称为f的负惯性指数，s=p-q称为f的符号差，实二次型的正、负惯性指数是惟一确定的，此称为实二次型的惯性定律，亦称惯性定理。

此定理由西尔维斯特(J.J.Sylvester)给出，故亦称西尔维斯特定理。但他认为不证自明。雅可比(C.G.J.Jacobi)也独立发现并证明了这个定理。两个n元实二次型等价的充分必要条件是：它们有相同的秩，且有相同的正惯性指数(或有相同的秩与符号差)。

两个相似的矩阵一定是等价的，两个合同的矩阵也一定是等价的。但是，反之并不成立，即等价的矩阵未必相似，也未必合同，矩阵相似与矩阵合同是两个不同的概念，只有当B = P-1AP中的P是正交矩阵时，才同时有B =P'AP，所以，两个矩阵正交相似与正交合同是一回事。