Question

不等式问题

设a、b、c为正数且互不相等。
求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
用柯西不等式 麻烦把每一步原因说一下 我才高一入学没多久看起来会有点吃力

Answer 1

其实可以不用柯西。
此题用到均值不等式:x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）

令a+b=x,b+c=y,a+c=z,则a+b+c=(x+y+z)/2,x>0,y>0,z>0.
求证不等式变成:2/x+2/y+2/z=18/(x+y+z)
即1/x+1/y+1/z=9/(x+y+z).
由x+y+z>=9*1/(1/x+1/y+1/z）
得1/x+1/y+1/z=9/(x+y+z),
故原不等式成立.

下面说说:x+y+z>=3*[(xyz)的立方根]>=9*1/(1/x+1/y+1/z）的证明。
所证式子的前半部分可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(将a,b,c分别换成三次根号a,b,c即可),以下用高中方法证明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)
后半部分证明则利用前半部分的结论:
易知yz+xz+xy>=3*[(xyz)^2的立方根],则
3*[(xyz)^2的立方根]/(yz+xz+xy)<=1,等式两边同乘以(xyz)的立方根,得
3xyz/(yz+xz+xy)<=(xyz)的立方根
不等式左边上下同除以xyz,得
3*1/(1/x+1/y+1/z)<=(xyz)的立方根
即[(xyz)的立方根]>=3*1/(1/x+1/y+1/z）
所以后半部分得证.

附柯西方法：
：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。

Answer 2

原式左边=1/(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)](2a+2b+2c)
=1/(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)][(a+b)+(b+c)+(c+a)]
≥1/(a+b+c)[√(1/(a+b)*(a+b))+√(1/(b+c)*(b+c))+√(1/(c+a)*(c+a))]^2
=1/(a+b+c)(1+1+1)^2
=1/(a+b+c)

Answer 3

设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。