Question

如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°，AC=BC=AD。求证:CD=BD

竞赛题，不会

Answer 1

证明：

作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F

∵∠C=90º

∴四边形ECFD是矩形

∴DE=CF

∵∠CAD=30º

∴DE=½AD

∵AD=BC

∴CF=½BC

即DF是BC的垂直平分线

∴CD=BD【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】

Answer 2

∵ AC=BC，得⊿ABC是等腰三角形，由于∠C=90°，两底角都为45°；

AC=AD，得⊿ACD是等腰三角形，由于∠CAD=30°，所以∠ACD=∠ADC=75°

∠DCB=∠DAB=15°

过D点做DE‖AC交AB与E点，∠ADE=∠DAC=30°

证明得⊿ADE与⊿ABD相似，可知∠ABD=∠ADE=30°

则∠DBC=∠ABC-∠ABD=45°-30°=15°=∠DCB

⊿DBC为等腰三角形

∴BD=DC

Answer 3

过点D作DF⊥BC，交BC于点F
过点D作DE‖BC，交AC于点E
因为∠CAD=30°
所以DE=
½AD=
½BC
又四边形DECF是矩形
所以DE=CF=½BC
即点F是边BC的中点，
也就是 DF是BC的垂直平分线
所以CD=BD