Question

关于微分方程的解法的问题

微分方程的解为什么分成齐次解和特解两部分？
求齐次解过程为什么会用到特征根？
看了啊，感觉我的课本没讲到点子上，就是给个操作过程哦~~

Answer 1

首先，只有线性的微分方程才可以这样解，非线性的不行。
对于线性微分算子L，L[u(t)+v(t)]=L[u(t)]+L[v(t)]，所以如果x1(t)和x2(t)是方程L[x(t)]=f(t)的任何两个解，必有L[x1(t)-x2(t)]=0，于是只要能求出齐次方程L[x(t)]=0的通解，再求出L[x(t)]=f(t)的任何一个解，就可以得到方程的所有解。

下面再看特征值方法，记D是求导算子，设L=p(D)，其中p是一个多项式，那么做变量代换
y1(t)=x(t)
y2(t)=x'(t)=Dx(t)
y3(t)=x''(t)=D^2 x(t)
...
这样就可以把L[x(t)]=0写成一个大的矩阵形式A(D)Y(t)=0，其中Y(t)=[y1(t),y2(t),...]^T。（这个试一下，写一个看看就知道了）
这里的A其实相当于多项式p的友阵(Frobenius阵)，而特征值方法就是把通过把这个矩阵对角化(或者说化Jordan标准型)的方法来求解这个微分方程。

Answer 2

这个主要是齐次解的话解及其各阶导数就是线性相关的,(因为右边=0).函数中满足各阶导数线性相关的只有指数型函数,所以可假定其解为e^ax型,再用代入法代入化简,从而等价于一个比原方程简单得多的只关于a的普通方程,(即特征方程),其解就称为特征根.
建议楼主看一下数学专业的<常微分方程>一书,里面说得更具体.

Answer 3

你为什么不去看常微分方程第一章？