Question

已知二次方程mx2+(3m-2)x+2m-2=0有一个大于-2的负根,一个小于3的正根,求实数m的取值范围.

已知二次方程mx2+(3m-2)x+2m-2=0有一个大于-2的负根,一个小于3的正根,求实数m的取值范围.
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最佳答案检举解:设x1,x2是二次方程mx2+(3m-2)x+2m-2=0的两根
由求根公式得:
x1={-(3m-2)+根号[(3m-2)^2-4m(2m-2)]}/2m=[2-3m+根号(m-2)^2]/2m
=(2-3m+|m-2|)/2m

x2={-(3m-2)-根号[(3m-2)^2-4m(2m-2)]}/2m=[2-3m-根号(m-2)^2]/2m
=(2-3m-|m-2|)/2m

(1)当m>=2时
|m-2|=m-2
即:x1=(2-3m+m-2)/2m=-1
x2=(2-3m-|m-2|)/2m=(2-3m-m+2|)/2m=(2-2m)/m
x1=-1是大于-2的负根,
所以x2就是小于3的正根
即:0<(2-2m)/m<3
0<2-2m<3m
即2-2m>0,m<1
2-2m<3m,m>2/5
即:2/5<m<1这与条件m>=2相矛盾,故不成立

(1)当m<2时
|m-2|=2-m
x1=(2-3m+2-m)/2m=(2-2m)/m
x2=(2-3m-|m-2|)/2m=(2-3m+m-2|)/2m=-1
x2=-1是大于-2的负根,
则x1就是小于3的正根
即:0<(2-2m)/m<3
可化简为0<m(2-2m)<3
2m^2-2m<0且2m^2-2m+3>0
m(m-1)<0
而2m^2-2m+3>0的判别式大于0,且开口向上,所以不论m为何值,2m^2-2m+3>0
即:由m(m-1)<0得:
0<m<1
又m<2
所以,实数m的取值范围是0<m<1
问题补充：当X＜2时，0＜（2-2m)/m＜3化简有错误，请帮忙解决一下，谢谢！好像应该有更简便的解法。

Answer 1

简便的解法,首先m不=0.(如果M=0,则没有二个根.)
分二种情况:
设f(x)=mx2+(3m-2)x+2m-2
情况1,m>0,则有:
f(0)=2m-2<0, 得m<1
f(-2)=4m-6m+4+2m-2=2>0
f(3)=9m+9m-6+2m-2=20m-8>0,得m>2/5

情况2,m<0
f(0)=2m-2>0,得m>1
f(-2)=2<0,不符,说明此种情况不成立.
f(3)<0

综上2/5<m<1