Question

高中函数有关单调性，奇偶性的问题。

设F(x)定义域为x≠0，当x>0时，f（x）>0对任意x,y∈（-oo，0）∪（0，+oo）恒有f（x·y）=F(x)·F(y)
(1)若对任意x>1，恒有f（x）>1,求证f(x)在（0，+oo）上单调递增。
（2）若存在x0∈（-oo，0）使f（x0）<0,求证f(x)为奇函数

Answer 1

1)若对任意x>1，恒有f（x）>1,求证f(x)在（0，+oo）上单调递增。
解:设x1>x2>0,则有x1/x2>1,f(x1/x2)>1
f(xy)=f(x)*f(y)
即f(xy)/f(y)=f(x)=f(xy/y)
所以,f(x1)/f(x2)=f(x1/x2)>1
即f(x1)>f(x2)
所以,得证.

（2）若存在x0∈（-oo，0）使f（x0）<0,求证f(x)为奇函数
令x=y=1,得f(1)=[f(1)]^2,又f(1)>0,故得f(1)=1
令x=y=-1,得f(-1*(-1))=[f(-1)]^2=1,又f(-1)<0
故有f(-1)=-1
令 y=-1得:f(x*(-1))=f(x)*f(-1)
即f(-x)=-f(x)
所以,函数是奇函数.