Question

初中数学几何代数综合题，必须高手进

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a,AB=c,CD=h。
求证：（1）1/a²+1/b²=1/h²；
（2）a+b＜c+h
（3）以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形。

Answer 1

1）1/a2+1/b2=（a²b²）/（a²+b²）
∵△ABC为Rt三角形 ∴ab=ch a²+b²=c²
（把上面的代入） ∴ 1/a²+1/b²=（a²+b²）/（a²b²）=c²/c²h²=1/h²
2）（a+b）²=a²+b²+2ab.....1式 (c+h)²=c²+h²+2ch ...2式
∵a²+b²=c² ab=ch ∴(c+h)²=a²+b²+h²+2ab=(a+b）²+h²
即（a+b）²<(c+h)² ∵a+b>0 c+h>0 等价于a+b＜c+h
3）（a+b）²=a²+b²+2ab 1式
（c+h)²=a²+b²+h²+2ab= a²+b²+h²+2ab 2式
∴1式+h²=2式 根据勾股定理 所以以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形

Answer 2

1）解：a^2+b^2=c^2
ab=ch (体积相等) ==》(ab)^2=(ch)^2=(a^2+b^2)h^2
左右除以h^2*（av）^2 得 （1）1/a²+1/b²=1/h²；
2）a+b<c+h <===>(a+b)^2<(c+h)^2 <====>2ab<2ch+h^2显然恒成立
所以得证
3）（a+b）^2+h^2=（c+h）^2 (注意ab=ch体积相等)
得证以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形。

Answer 3

根据sin²A+cos²A=1，sinA=h/b,cosA=b/c,有a*b=c*h这个关系（三角形面积）h=a*b/c，得到(h/b)²+(b/c)²=1，左右同时除h²,得到1/b²+1/a²=1/h²