Question

不等式求最值问题

求y=m^2+1/m^2+2值域。
我设t=m^2+2然后用均值不等式求，结果是零到正无穷，其实应该是0.5到正无穷。
请问我这种方法为什么会出错？其实我更想问设t这种方法在做的时候还应该注意什么？怎么用设t的方法完美解出这道题？
一楼的，用均值不等式T就约掉了啊

Answer 1

你的设法没有错，下面我按照你的设法来做，在做的过程中指出错误在哪。
解：
设 m^2 + 2 = t (t >= 2)
则原式为：y = t + 1/t - 2
均值不等式：t + 1/t >= 2
当且仅当：t=1 时满足 = 号成立 ........................................注意！！！
而上述 t >= 2,所以此解错误

另解，对原式子求导或者增量相减可轻易证明：
此函数为递增函数
故当 x = 0 时，函数取最小值 0.5

还举个例子：
y = x + 4/x （x>3）求最小值?
你先尝试自己解下....答案是4..？

正确使用均值不等式！！ .........................................................................提醒！！！
先均值，当且仅当，看 x 取值是否在定义域内，再得出结论
均值不等式第二步是最容易被忽略的，就是：
“当且仅当”这个条件。
满足这个条件才能解决最值问题，不满足就一般从单调性下手

先均值，当且仅当，看 x 取值是否在定义域内，再得出结论

Answer 2

在用均值不等式时要检查是否能取等号，
而设t=m^2+2时应该有t=2
y=t+（1/t）-2(t>=2)
利用均值不等式y>=2-2=0,
此时t=1/t，得t=1，
其实y=x+(1/x)在（0，1）上递减，
在（1，正无穷）上递增的，所以这个题目最小值在t=2时取得的！

Answer 3

基本不等式的应用，一看到题目，应该立马要想到这个式子：a²+b²≧2ab。这里直接写过程了，所以

原式≦1/2（x²+1-x²）

≦1/2

（此步骤不能省略）当且仅当
x=√（1-x²）即
x²=1-x²时等号成立

所以当
x=√2/2
或
x=-√2/2（舍）

原式取得最大值，且最大值为1/2

Answer 4

首先你设了t，那么t明显是有取值范围和值域的啊，t>=2
用设t的方法，就是要注意t的取值范围和值域；