Question

关于概率论的一个问题

在讨论随机变量的独立性与相关性时，为什么若随机变量X与Y不相关，则X与Y可能独立，也可能不独立？能否举例？谢谢

Answer 1

首先 X和Y独立 说明它们的协方差为零Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=EXY-EXEY=0
无论X Y是否独立 EXY都可能等于EXEY
举例的话 你随便找个不相关的二维离散型随机变量的联合概率分布
如果数字不规律的话 就很可能是不独立的

Answer 2

两道习题,可以作为反例
1.X的密度函数为偶函数,且EX^2<无穷,则|X|与X不相关,但不独立
2.(X,Y)的密度函数为p(x,y)=1/π (x^2+y^2<=1), 0 (x^2+y^2>1)
则X,Y不相关,但不独立.

Answer 3

课后有习题，就是这种情况。