Question

怎样判断函数f（x）=sinπx/（x2+1)(x2-2x+2)的对称性

严谨做法，谢谢

Answer 1

若f(x)是对称函数，必然存在一个实数a使得
f(x)=f(a-x)
现在我们只要验证是否存在这样一个实数a使得下面的等式对定义域的x恒成立：
sinπx/（x2+1)(x2-2x+2）=sinπ(a-x)/((a-x)^2+1)((a-x)^2-2(a-x)+2)
可知道当a属于整数时
sinπx=sin（πa-πx）
下面验证分母的恒等（x各次项系数，常数项都相等）
分别展开等式左右两边的分母使得x各次项系数，常数项都相等，求取a（lz自己动手算吧）

若a是整数，则上述等式可以恒成立
即f（x）是对称的，且a/2为其对称轴

Answer 2

若存在对称轴x=a
则
sinπx/（x2+1)(x2-2x+2）=sinπ(a-x)/((a-x)^2+1)((a-x)^2-2(a-x)+2)
由于sinπx的特殊性，它不能表达为x^4，x^3,x^2,x,1的组合，所以只能有
sinπx=sinπ(a-x)
所以sinπx-sinπ(a-x)=0
2cosπa/2sinπx/2=0
由于x任意，只有cosπa/2=0
a=2k-1,k∈Z
再看分母，(x2+1)(x2-2x+2）=((a-x)^2+1)((a-x)^2-2(a-x)+2)
x^4-2x^3+3x^2-2x+2=(a-x)^4-2(a-x)^3+3(a-x)^2-2(a-x)+2
展开移项后令x^3,x^2,x^1,常数的系数相等，可得，a=1
f(x)关于x=1对称