Question

一道高中数学问题？

已知直线l与曲线y^2=16x交于A，B两点，线段AB的中点为（3，2），求线段AB的长？
请给出详细的解答过程。

Answer 1

设该直线为y=kx+b
那么代入y^2=16x得
y=(ky^2)/16+b
ky^2/16-y+b=0
y1+y2=16/k
线段AB的中点为（3，2）
那么(y1+y2)/2=2
y1+y2=4
解出k=4
直线过点(3,2)
那么代入直线方程y=4x+b 算出b=-10
直线为y=4x-10
它与曲线y^2=16x的交点很好算了吧（求方程组的解）
y^2-4y-40=0
y1=2(1+√11)
y2=2(1-√11)
直线斜率k=4
那么它与x轴夹角 tgθ=4
那么sinθ=4/(√17)
AB线段长=∣y1∣/sinθ+∣y1∣/sinθ=√187
AB长度=√187
你自己画图然后再试试

Answer 2

设A点为（x1,y1),B点为(x2,y2)

y1^2=16x1,y2^2=16x2,x1+x2=2*3=6,y1+y2=2*2=4

用y2^2=16x2减去y1^2=16x1，可得(y2-y1)(y2+y1)=16(x2-x1)

因为y1+y2=2*2=4，所以(y2-y1）=4(x2-x1),(y2-y1）^2=16(x2-x1)^2,

用y2^2=16x2加上y1^2=16x1，可得y2^2+y1^2=16x2+16x1=96

y1+y2=4，（y1+y2)^2=16,y1^2+y2^2+2y1y2=16,2y1y2=-80

（y2-y1)^2=16，(x2-x1)^2=16/16=1,

线段AB的长根号下(y2-y1)^2+(x2-x1)^2=根号17