Question

已知函数f（x）=ax^2+bx+c，且满足f（0）=0，f（x+1）－f（x）=x+1.求f（x）的值域

急急急！！！

Answer 1

设二次函数：
f(x)=ax²+bx+c
∵f(0)=0
∴c=0
∴f(x)=ax²+bx
f（x+1)=a(x+1)²+b(x+1)
=ax²+2ax+a+bx+b
=ax²+(2a+b)x+a+b
=f(x)+x+1
∴ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+bx+x+1
ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+(b+1)x+1
系数对应相等
∴{2a+b=b+1
{a+b=1
∴{a=1/2
{b=1/2
∴f(x)=1/2x²+1/2x
设二次函数：
f(x)=ax²+bx+c
∵f(0)=0
∴c=0
∴f(x)=ax²+bx
f（x+1)=a(x+1)²+b(x+1)
=ax²+2ax+a+bx+b
=ax²+(2a+b)x+a+b
=f(x)+x+1
∴ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+bx+x+1
ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+(b+1)x+1
系数对应相等
∴{2a+b=b+1
{a+b=1
∴{a=1/2
{b=1/2
∴f(x)=1/2x²+1/2x =1/2(x+1/2)^2-1/8
值域【-1/8,+∞）

Answer 2

f（0）=0
c=0
f（x+1）－f（x）=x+1.
a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=x+1
a(2x+1)+b=x+1
2a=1
a+b=1
a=1/2
b=1/2
f（x）=1/2x^2+1/2x
值域【-1/8,+∞）