Question

用函数的单调性的定义证明：函数f(x)=x^3-3在R上是增函数。

提示：需用到立方公式。

Answer 1

证明：设f（X）定义域上任意两实数X1、X2满足X1<X2,
f(X1)=X1^3+X1 f（X2）=X2^3+X2
f(X1)-f(X2)=……（你整理一下吧，我不在这里演算了）
=（X1-X2）（X1^2+X2^2+X1X2+1)
因为X1<X2,X1-X2<0,又因为（X1^2+X2^2+X1X2+1)>0恒成立，
所以有X1<X2,且f（X1）<f(X2),证毕

Answer 2

设A<B,f(A)-f(B)=A^3-B^3=(A-B)(A2+AB+B2),而A2+AB+B2=（A+B\2)^2+(B^2)\4>0,所以f(A)-f(B)<0,由定义可知f(x)=x^3-3在R上是增函数