Question

数学有关方程的解

一元二次方程的解法

Answer 1

1..配方法（可解部分一元二次方程）
2.公式法（可解部分一元二次方程）
3.因式分解法（可解部分一元二次方程）
4.开方法（可解全部一元二次方程）一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的，不过要一般形式)
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)^2=7
∴(3x+1)^2=7
∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
（2）解： 9x^2-24x+16=11
∴(3x-4)^2=11
∴3x-4=±√11
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先将固定数c移到方程右边：ax^2+bx=-c
将二次项系数化为1：x^2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=...(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x^2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2
配方：(x-)^2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
当b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）
当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
当b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个共轭的虚数根）（初中理解为无实数根）
例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (选学） (4)x^2-4x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x^2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 （2）x^2+2x-3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x^2+2x-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x^2-2 x=-
x^2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x^2+px+q=0
解：x^2+px+q=0可变形为
x^2+px=-q (常数项移到方程右边)
x^2+px+( )2=-q+( )2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p^2-4q≥0时，≥0（必须对p^2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p^2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x^2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x^2-x=0 4. x^2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x^2-ax+-b2=0 2. x^2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案：
（一）1.x1=-1/2 ,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x^2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x^2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。

Answer 2

一元二次方程的解法一般采用以下方法：
1.求根公式法
2.配方法
3.分解因式法（又叫“十字相乘法”）。

Answer 3

1.求根公式法
2.配方法
3.分解因式法（又叫“十字相乘法”）
4.判别式法（仅限于可能无解的方程）