Question

四边形ABCD的四个顶点在圆O上,且对角线AC垂直BD,OE垂直BC于E,求证OE=1/2AD

Answer 1

解：连接CO并延长交圆O于点P，连接BP、PD

　　　　　　　　　　　　　因为PC为圆O的直径，

　　　　　　　　　　　　　所以角PDC＝90

　　　　　　　　　　　　　因为OE垂直于BC

　　　　　　　　　　　　　所以OE是三角形BCP的中位线

　　　　　　　　　　　　　所以OE＝1/2BP

                               　　　　 因为BD垂直于AC

　　　　　　　　　　　　　所以角BDP＋角CDB＝角ACD＋角BDC

　　　　　　　　　　　　　所以角ACD＝角BDP

　　　　　　　　　　　　　所以弧PB＝弧AD

　　　　　　　　　　　　　所以BP＝AD

　　　　　　　　　　　　　所以OE＝1/2AD

Answer 2

延长CO，交圆O于F，连接BF、DF
因为 CF是直径
所以 ∠CBF＝90
所以 ∠ABC＋∠ABF＝90
因为 AB垂直CD
所以 ∠DCB＋∠ABC＝90
所以 ∠ABF＝∠DCB
所以 BD弧＝AF弧
所以 AD弧＝BF弧
所以 AD＝BF
因为 OE垂直BC
所以 E是BC中点
因为 O是CF中点
所以 OE是△CFB中位线
所以 OE＝BF/2
所以 OE＝AD/2