Question

线性代数矩阵习题

设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，证明：
1）若|A|=O，则|A*|=O；
2）若|A|不等O，则|A*|不等O
谢谢你的答案，不过我们还没有学矩阵的秩哦，有没有什么别的方法么？

Answer 1

楼主首先要明白| |A|=O 则r(A)<N，那么 r（A*）有三种情况
r（A）=n-1，则r（A*）=1;
r(A)<n-1，r（A*）=0;
r(A)=n,r（A*）=n；
当然，为什么出现这种情况，这个还是很容易理解的,将矩阵划分为n个行向量，即r（A）=n-1，有且只有一个向量可以被其他向量线性表示
第二小题，做法可以另类A*A=|A|E，直接求模，就可以得出结论了。
1.A=0时显然成立
A不为0时，因为（A*）A=|A|E=0
所以，A的每一列，都是（A*）x=0的解，就是说（A*）x=0有非零解，所以，此时根据克莱姆法则，其系数矩阵|A*|=0
2.直接用（A*）A=|A|E
两边都取用行列式
|（A*）A|=|A|^n
|（A*）A|=|A*||A|=|A|^n
所以|A*|=|A|^（n-1）
不为零咯
这个方法很好

Answer 2

1.A=0时显然成立
A不为0时，因为（A*）A=|A|E=0
所以，A的每一列，都是（A*）x=0的解，就是说（A*）x=0有非零解，所以，此时根据克莱姆法则，其系数矩阵|A*|=0
2.直接用（A*）A=|A|E
两边都取用行列式
|（A*）A|=|A|^n
|（A*）A|=|A*||A|=|A|^n
所以|A*|=|A|^（n-1）
不为零咯

Answer 3

n阶方阵都是可逆矩阵，由于 矩阵A 不等于0
则有： A乘以（A逆）=E
可知 A逆 不等于0
而又知 A逆=（1/|A|）*（A的伴随矩阵）
故有A的伴随矩阵不等于0.

Answer 4

可以利用矩阵的秩来证明。
因为|A|=0，
所以r(A)<=n-1
推出r(A*)=0或1
得 |A*|=0