Question

高一数学

已知函数f(x)=x^3+ax^2-3x+c,且g(x)=f(x)-2是奇函数
(I)求a,c的值
(II)证明函数f(x)在区间[1,正无穷)上单调递增

Answer 1

1、
g(x)=x^3+ax^2-3x+c-2是奇函数
g(-x)=-g(x)
所以-x^3+ax^2+3x+c-2=-x^3-ax^2+3x-c+2
2ax^2+2c-4=0
这是恒等式
所以2a=0,2c-4=0
a=0,c=2

2、
f(x)=x^3-3x+2
令x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3-3x1+3x2
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)-3(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-3)
x1>x2,所以x1-x2>0

x1>1,x2>=1
所以
x1^2>1,x1x2>1,x2^2>=1
所以x1^2+x1x2+x2^2-3>0
所以f(x1)-f(x2)>0
x1>x2>=1时f(x1)>f(x2)
所以是增函数

Answer 2