Question

求教一道高等数学高阶导数题

已知f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]^2,则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数为：________

Answer 1

解∵f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]^2
∴f''(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]^3
f'''(x)=3![f(x)]^4
.........
f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.....）
现在用数学归纳法证明它的正确性：
(1)当n=2时，左边=2f(x)f'(x)=2[f(x)]^3
右边=2![f(x)]^3=2[f(x)]^3
∴左边=右边，原式成立。
(2)假设当n=k时，原式成立，即f(x)的k阶导数=k![f(x)]^(k+1)
当n=k+1时，左边=f(x)的(k+1)阶导数
=k!(k+1)[f(x)]^k*f'(x)
=(k+1)![f(x)]^k*[f(x)]^2
=(k+1)![f(x)]^(k+2)
=右边
综合(1),(2)知f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.....）

Answer 2

f(x)的n阶导数为：___n!×f(x)的(n+1)次方__

归纳法：
f'(x)＝[f(x)]^2
f''(x)＝2[f(x)]×f'(x)＝2[f(x)]^3
f'''(x)＝3[f(x)]^2×f'(x)＝6[f(x)]^4
……
f(x)的n阶导数＝n! [f(x)]^(n+1)

Answer 3

f'(x)=[f(x)]^2
所以
f''(x)=2*f(x)*f'(x)=2*[f(x)^3]
f'''(x)=2*3*[f(x)^2]*f'(x)=2*3[f(x)^4]
然后就是数学归纳法了
假设f(x)的n阶导数为n!*[f(x)^(n+1)]
显然对一阶导数成立
如果假设成立
那么对n-1阶导数也成立
设f(x)的n-1阶导数为
(n-1)!*[f(x)^n]
那么f(x)的n阶导数就是对
(n-1)!*[f(x)^n]求导
求导后为
（n-1）!*n*[f(x)^(n-1)]*f'(x)
=n!*[f(x)^(n+1)]
所以假设正确

Answer 4

还有f'(x)=dy/dx=y^2
dx=dy/y^2
对两端积分，有
x+C=-1/3y^3
y=f(x)=-1/(x+C)^(1/3)
代入即可