Question

一道数学题 难倒一大批(各位哥哥姐姐弟弟妹妹叔叔阿姨帮帮忙吧~谢谢)

已知a,b为正整数,且满足a+b/a平方+ab+b平方=4/49 (分子:a+b 分母:a平方+ab+b平方).则a+b的值等于______

做不来啊~谢谢哦~~!

Answer 1

a+b=16

注:a^2表示a平方
由题意得:
(a^2+ab+b^2)/a+b = 49/4
(a^2+ab+b^2)/a+b=[(a+b)^2-ab]/a+b
=a+b - ab/a+b = 49/4
设a、b为方程x^2-px+q=0,则a+b=p ab=q
p-q/p=49/4 q=p^2-49p/4>=0
得p<=0 or p>=49/4
因为a、b是正整数，所以p、q是正整数。所以p>12

又方程要有实数根，所以delta >=0
即p^2-4q=p^2-4p^2+49p=-3p^2+49p>=0
得0<=p<=49/3 即 0<=p<=16

所以，p=16,即a+b=16

Answer 2

(a+b)/(a^2+ab+b^2)=4/49

解法一：
注意a不等于b,不妨设a>b
变形一下：
4(a+b)^2=4ab+49(a+b)<(a+b)^2+49(a+b)

=> 3(a+b)< 49 故a+b<17

又4(a+b)^2=4ab+49(a+b)>4+49(a+b)

=> a+b>12

这样12<a+b<17
注意a+b能被4整除(因为4(a+b)^2-4ab=49(a+b))，所以a+b=16. 从而a*b=60

=>a＝10，b＝6

解法二：
假设有解，则 显然a不等于b. 不妨设a>b

分子分母同乘(a-b)
=> (a^2-b^2)/(a^3-b^3)=4/49

=> 4a^3-49a^2=4b^3-49b

请注意： f(x)=4x^3-49x^2 在x=49/4 处取0值， 当x>49/2 时，f(x)且严格递增。
当0<x<49/4时， f(x) <0

所以a 和b 都在区间（0，49/4）里。

你把1到12每一个对应的f(x)的值算一下，就有

a=10,b=6 ,f(10)=f(6)=-900.