Question

已知：在三角形ABC中，角ABC为45°，CD垂直AB于点D，BE平分角ABC，且BE垂直AC于点E……

……与CD相交于点F，H是边BC的中点，连接DH与BE相交于点G。
求证：BF=AC，CE=二分之一BF，CE与BG的大小关系，说明理由。

Answer 1

∵BE平分角ABC，且BE垂直AC于点E,
∴根据等腰三角形"三线合一",可知,三角形ABC是等腰三角形;AB=BC..
∠BAC＝∠BCA
又∵∠ABC＝45°,
∴∠BAC＝∠BCA＝(180°-45°)/2=67.5°;
在三角形BCD中,∠BCD=180°-∠ABC-∠BDC
=180°-45°-90°
=45°.
即三角形BCD是等腰直角三角形;
BD=CD;
且:
∠ACD=∠BCA-∠BCD=67.5°-45°
=22.5°;
∠DBF=∠ABC/2=45°/2
=22.5°;
故 ∠ACD=∠DBF.
又因为∠BDC=∠ADC=90°,
BD=CD,
则△BDF≌△ACD (角边角)
∴ BF=AC.

∵三线合一,
∴CE=AE=二分之一AC
=二分之一BF.

连接CG.
∵三角形BCD是等腰直角三角形,
而且H是边BC的中点，即DH是三角形BCD中BC边的中线,
则DH⊥BC;
即DH垂直平分BC.
∴BG=CG.
易知,GF＜CG,则GF＜BG.
而 BG+GF=BF,
故 BG＞二分之一BF．
即 CE＜BG

Answer 2

容易知道三角形BCD为等腰直角三角形.
那么DC=BD 由于角EBD+角DFB为90度等于角CEB加角CFE 而CFE和DFB为对顶角.
所以有角边角定理得到三角形BDF与CDA全等.
(BD=CD FBD=DCA BDF=CDA=90)
所以BF=AC
由于BE为角ABC的平分线,而且BE为AC边上高.
所以ABC为顶角为45的等腰三角形.
所以AE=1/2AC=1/2BF.
由于,H为BD中点,过H做HP垂直BD于P,交BE与Q
那么HP平行与CD, 所以Q为BF中点,
得到BQ=1/2BF=CE
由于角BHQ等于45 ,角BHG等于90
所以HP为角BHD的角平分线.
所以Q点在线段BG上,
所以BQ=CE<BG
证毕.