Question

己知函数f(x)=x^2+bx+c对任意实数 t 都有f(1+t)=f(1-t),且f（0）=3.

问f（b的x方）与f(c的x方)的大小关系

Answer 1

解：
f(x)=x^2+bx+c,
f(1+t)=(1+t)^2+b(1+t)+c=t^2+(b+2)t+b+c+1=
=f(1-t)=(1-t)^2+b(1-t)+c=t^2-(b+2)t+b+c+1,
则 b+2=0, 且
f(0)=3=b+c+1，b+c=2,
联立，解得
b=-2,c=4.

f(b^x)=b^(2x)+b^(1+x)+c=（-2）^（2x）+(-2)^(1+x)+4=
=4^x-2*(-2)^x+4,
f(c^x)=c^(2x)+bc^x+c=4^(2x)-2*4^x+4=16^x-2*4^x+4,
设:
B=f(b^x)=4^x-2*(-2)^x+4, C=f(c^x)=16^x-2*4^x+4,
D= C-B = f(c^x)-f(b^x)=
=16^x-2*4^x+4-[4^x-2*(-2)^x+4]=
=16^x-2*4^x-4^x+2*(-2)^x=
=16^x-3*4^x+2*(-2)^x,
问题现在变为讨论D与0的大小的判断。
当 x=0 时，
D=16^0-3*4^0+2*(-2)^0=1-3+2=0,
故 B=C, 即 B=f(b^x) 与 C=f(c^x) 相等；
当 x>0 时，
D/(16^x)=1-(3*4^x)/16^x+[2*(-2)^x]/16^x=
=1-3*(1/4)^x+2*（-1/8）^x >0,
即 D= C-B >0,
所以 C>B，即 f(c^x)>f(b^x);
当 x<0 时，
设 y= -x, y>0,则
D=16^x-3*4^x+2*(-2)^x=
=1/16^y-3/4^y+2/(-2)^y,
当y和x是偶数时，令 y=-x=2k,k>0,
D=1/16^(2k）-3/4^(2k）+2/(-2)^(2k）=
=1/16^(2k）-3/16^k+2/4^k >0,
即 D= C-B >0，
所以 C=f(c^x) > B=f(b^x);
当y和x是非偶数时，
D=16^x-3*4^x+2*(-2)^x=
=1/16^y-3/4^y+2/(-2)^y <0,
即 D= C-B <0，
所以 C=f(c^x) < B=f(b^x).