Question

超难的初中因式分解题

1. 在1到100之间若存在整数n，使x＾2 + x - n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n有几个？

2．要使(x-1)(x+3)(x-4)(x-8)+m为完全平方式，则m值是？

3．有一个正整数加上100则为一完全平方数，如果加上168则为另一完全平方数，求此数．
4．若a为自然数，且a＾3 + 2a＾ 2 -12a +15表示质数，求这个质数．
5．若a=1995＾2 + 1995＾ 2 •1996＾2 + 1996＾2,求证：a是一个完全平方数．
6．a,b,c,d均为整数，求证：a＾2 + b＾2与c＾2 + d＾2之积必为两个整数的平方和．

请写出解题过程（答案），有心者写写解题思路，好让我能举一反三．谢谢．
1．2a(a＾2 + a +1 )+ a＾4 + a＾2 + 1.(分解因式)
2．求证：对每个自然数n，总能找到自然数m,使得nm+1是合数。
3．若m,n为整数，且7m-n是6的倍数，求证：28m＾2 + 31mn -5n＾2必是18的倍数。
4．求证：任意4个连续自然数之积加1为一个完全平方数。
5．K为何值时，x＾2 + xy + ky＾2 – 2x + 11y -15能分解为两个一次因式的积？
6．若m,n,p,q为正整数,且mn+pq 是m-p的倍数，求证：mq+np也是 m-p的倍数。
7．已知x＾3 + bx＾2 + cx + d 为整数系数多项式，若bd+cd是奇数，求证：这个多项式不能分解成两个整数系数多项式的乘积。
8．求证：对任何非零自然数，3＾n+2 - 2＾n+2 + 3＾n - 2＾n是10的倍数。
9．已知a,b,c 满足a＾2 + b＾2 + c＾2=9,求(a-b) ＾2 +(b-c)＾2 +(c-a)＾2的最大值

Answer 1

第5题就是一个完全平方和公式啊。直接结合就行了
a=(1995+1996)^2
3题是21，可以推想出来，11的平方是121，不妨假设此数为21，验证第二条件，得到189刚好是17的平方

Answer 2

（2）1.原式＝2a³+2a²+2a+a⁴+a²+1
＝a⁴+2a³+3a²+2a+1
＝（a⁴+2a²+1）+（2a³+2a)+a²
＝（a²+1)²+2a(a²+1）+a²
＝(a²+a+1)²