Question

一个极限问题:

求 lim 0.99999999(n个9）的极限是什么，用定义证明。

Answer 1

用严格的极限定义进行证明，如下

证明

0.999…9}n个9=1-0.1^n

任取一个正数ε，令

|1-0.1^n-1|=0.1^n<ε

即1/10^n<ε

10^n>1/ε

z左右同时取log，得n>log(1/ε)

取N=[log(1/ε)]+1

则对于任意给出的一个正数ε都存在一个正数δ，使得n>N时

|1-0.1^n-1|<ε

命题得证

Answer 2

1
0.99999999.........=1
0.9=9/10 0.09=9/(10^2) 0.009=9/(10^3)...
所以0.9999999。。。。。。是一个等比数列之和的极限
n趋于无穷 lim=0.9+0.09+0.009+。。。。。9*(1/10)^n=[9/10-(1/9)^n]/*(1-1/10)=9/10/9/10=1

Answer 3

极限是1

因为|an-1|=1/10^n,不难证明只要n足够大（比如大于-lge)，1/10^n就小于任意给定的正数e（不妨限定0<e<1)，所以根据定义所给极限值为1.

Answer 4

1

1lim 0.99999999(n个9）=a
10a-a=9
a=1