Question

初三数学题（一元二次方程）

关于x的方程a(x+1)^2+b(x-2)+c=0与方程x^2+3x-2=0的解完全相同，求(a+b)^c的解
因为2a+b是3的倍数，所以ab互质
a=b=1,c=-1 (a+b)^c=1/2
或
a=b=-1,c=1 (a+b)^c=-2
不好意思，可以详细解释一下吗

Answer 1

a(x+1)^2+b(x-2)+c=0
等价于
ax^2+2ax+a+bx-2b+c=0
ax^2+(2a+b)x+(a-2b+c)=0
x^2+3x-2=0
因为它们的解完全相同，所以它们各项的系数对应成比例，即
a=(2a+b)/3=(a-2b+c)/(-2)
得出
a=b=-c
因为2a+b是3的倍数，所以ab互质
a=b=1,c=-1 (a+b)^c=1/2
或
a=b=-1,c=1 (a+b)^c=-2

Answer 2

a(x+1)^2+b(x-2)+c
=ax^2+(2a+b)x+a-2b+c=0

方程的根完全相同，那么a/1 = (2a+b)/3 = (-a+2b-c)/2

==> a=b=-c

a, b互质 ==> a=b=-c=1或-1，

如果为1, (a+b)^c=1/2

如果为-1, (a+b)^c=-2