Question

已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足向量HP*PM=0,向量PM=-3/2MQ(向量).

(1)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程;
(2)设动点M的轨迹为C,如果过定点A(Xo,Yo)的直线与曲线C相交于不同的两点S,R,求证:曲线C在S,R两点出的切线的交点在一条定直线上.

Answer 1

解：（1）设P（a，0），Q（0，b）则： HP 向量• PQ向量【由图可知PQ与PM向量共线，下面也一样哦】 =（a，3）（a，-b）=a^2-3b=0
∴a^2=3b
设M（x，y）∵ PM向量 =-3/ 2 HQ向量∴x=a/( 1-3/ 2) =-2a，y=(-3/ 2 )b/( 1)-3 /2 =3b∴y=(1/ 4 )x^2
（2）设A（a，b），S（x1，(1/4) x1^2），R（x2，(1/ 4) x2^2），（x1≠x2）
则直线SR的方程为：y-(1/ 4) x1^2=【[(1/4) x2^2-(1/4) x1^2]/ x2-x1】（x-x1），即4y=（x1+x2）x-x1x2
∵A点在SR上，
∴4b=（x1+x2）a-x1x2①
对y=(1 /4) x^2求导得：y′=(1/ 2) x
∴抛物线上SR处的切线方程为
y-(1 /4) x1^2=(1/ 2) x1（x-x1）即4y=2x1x-x1^2②
y-(1/ 4) x2^2=(1/ 2) x2（x-x2）即4y=2x2x-x2^2③
联立②③得 x=(x1+x2 )/2 y=(1/ 4) x1x2
代入①得：ax-2y-2b=0故：B点在直线ax-2y-2b=0上

Answer 2

根据题目可知：离心率e=√3/3 因此：c/a=√3/3
可得：c^2/a^2=1/3 故此有： b^2/a^2=2/3 （因为c^2+b^2=a^2)
又因为：O到y=x+2距离等于b；（b为半径）
那么：
b=|0*x-0*y+2|/√(1^2+1^2)=√2
解得：a^2=3,a=√3 故此椭圆方程：X^2/3+y^2/2=1；