Question

微积分习题

设f(x)+f(1-1/x)=2x,x≠0,1,则f(x)=______.
要过程

Answer 1

我们已知
（1）f(x) + f(1-1/x) = 2x，
接下来，用1-1/x代替x写入（1）式，可知
（2）f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = 2(1-1/x)，
然后，用1/(1-x)代替x写入（1）式，我们有
（3）f(1/(1-x)) + f(x) = 2(1/(1-x))，
通过观察，我们知道（1）（2）（3）等式左边的f(x)、f(1-1/x)、f(1/(1-x))各出现了2次，所以，把这三个等式左右各自叠加起来我们有
2*[f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x))] = 2*[x + (1-1/x) + (1/(1-x))]
所以有，
（4）f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = x + (1-1/x) + (1/(1-x))
利用（4）减去（2），我们立即可以得到
f(x) = x - (1-1/x) + (1/(1-x)) = x-1 + 1/x + 1/(1-x)