Question

已知正常数a，b和正实数x，y满足a+b=10，a/x+b/y=1，x+y最小值为18求a，b

Answer 1

(x+y)(a/x+b/y)
=a+b+ay/x+bx/y

ay/x+bx/y>=2√(ay/x*bx/y)=2√(ab)
所以(x+y)(a/x+b/y)>=a+b+2√(ab)=10+2√(ab)
a/x+b/y=1
所以x+y最小=10+2√(ab)=18
ab=16
a+b=10
a>0,b>0
所以a=2,b=8或a=8,b=2

Answer 2

a/x+b/y=1
xy=bx+ay
y=bx/(x-a)
x+y=x+[bx/(x-a)]>=18
x^2-ax+bx>=18x-18a
x^2+(b-a-18)x+18a>=0
[(b-a-18)/2]^2=18a
a^2+b^2-2ab+36a-36b+324=72a
a^2+b^2-2ab-36(a+b)+324=0
(a-b)^2-360+324=0
a-b=6或-6
a+b=10
a1=8 a2=2
b1=2 b2=8