Question

1道高中几何题似乎较简单可我不会啊

点O是边长为4正方形ABCD的中心,点E,F是AD,BC的中点,沿对角线AC把正方形ABCD折叠成直二面角D-AC-B.
1.求角EOF的大小 2.求二面角E-OF-A的大小
要有过程啊

Answer 1

1. 以O为原点，OA,OD，OB为x,y,z轴建立坐标系，则E(2,2,0),F(-2,0,2)
所以向量OE=(2,2,0),OF=(-2,0,2)
cos<OE,OF>=OE*OF/(|OE||OF|)=(-4+0+0)/(2√2*2√2)=-1/2
所以∠EOF=arccos(-0.5)=120°

2. 得坐标A(2√2,0,0),O(0,0,0),F(-2,0,2),E(2,2,0)
所以面AOF方程为：y=0
面EOF方程为:x-y+z=0
所以AOF法向量为n1=(0,1,0),EOF法向量为n2=(1,-1,1)
故<n1,n2>=arccos(n1*n2/(|n1||n2|))=arccos(-1/√3)=125.3°
由于二面角取锐角，所以E-OF-A=180°-125.3°=54.7°(=arccos(1/√3))

Answer 2

第一问 可以先求得三角形EOF的各边长。
EO=1/2DC=2,同理可得FO=2
取DC中点H 连结FH,EH 易得FH=1/2BD=2,EH=2倍根2，所以EF=2倍根3（FH垂直EH)
再根据余弦定理可得角EOF=120度

第二问 所求即为面EOF与面ABC的角，可运用射影三角形定理
过E作EG垂直AC于G，则，EG垂直面ABC，G即为E在面ABC 内的射影
所以三角形FOG即为三角形EOF在面ABC内的射影三角形
用射影三角形面积除以原三角形面积可得2面角
原面积=根3，射影面积=1 所以 二面角E-OF-A的大小为 arccos3分之根3

Answer 3

角EOF=135度
二面角E-OF-A=135度