Question

一道初三数学题

如图，已知三角形ABC，AB=AC=12,BC=10,D是AB上一点，BD=4，E是BC上一动点，联结DE,并作角DEF=角B，射线EF交线段AC于F
1求证三角形DBE相似于三角形ECF
2当F是线段AC中电是，求线段BE的长
3联结DF，如果三角形DEF于三角形DBE相似，求FC的长

Answer 1

1)证明：∵∠B+∠DEB+∠BDE=180°
∠DEB+∠DEB+∠FEC=180°
又∵∠DEF=∠B
∴∠BDE=∠FEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴△BDE∽△CEF
2)∵F是AC中点，AC=12
∴CF=6
∵△BDE∽△CEF
∴BD：BE=CE:CF
设BE=x，则CE=10-x，代入得：4:X=(10-x）：6
x=4或者x=6
3)若△DFE∽△EDB,则已证△EDB∽△FEC
∴△DFE∽△FEC
∴∠DFE=∠FEC
∴DF//BC
∴CF=BD=4
若△DFE∽△DEB,则已证△DEB∽△EFC
∴∠BDE=∠EDF,∠DFE=∠CFE
∴点E是DE,EF两角平分线交点
连接AE，则AE是∠BAC的平分线
又∵AB=AC
∴AE又是底边BC中点
∴BE=CE=5
△DEB∽△EFC
∴DB:EC=BE:CF
即4：5=5：FC
∴FC=25/4
综上所述：FC=4或者25/4
说明：第三小题已知相似求边的问题要注意分类讨论，一般按相似三角形的顶点的对应情况来分类，此题已知∠DEF=∠C,故可以确定的是点E对点C，所以把每个三角形剩下的两组顶点分成两类：1）点D对点F,点F对点E (2)点D对点E，点F对点F。