Question

若m,n为实数,则m^2+(n-1)m+n^2-2n的最小值为多少

如题，我数学不是很好，领悟力较差，所以，希望有比较完整详细的解题过程。

Answer 1

这道题有三种方法解决，然而没有一种容易领悟
最正统解法：（偏微分）
如果知道偏微分，这道题就势如破竹了。
对m，n分别求偏微分，则知
当2m+n-1=0和2n+m-2=0同时成立时有极值，
此时m=0，n=1
观察易知此为最小值，代入有
最小值为-1

几何法：建立方程：m^2+(n-1)m+n^2-2n=k
k在一定范围内取值，这是一个椭圆方程，
当k使这个椭圆抵达极限（再小就无图像）时，
就是所求。计算方法为△法，前辈也有一个计算公式，较复杂打不出。

向量法（不推荐）：
将m^2+(n-1)m+n^2-2n化为两个平方和a^2+b^2，并在找到一个向量(m,n),使(a,b)·(m,n)=P(常数)，k即为(a,b)的模的平方，当(a,b)‖(m,n)时，(a,b)的模最小。不推荐的原因是凑平方太困难，如果题目是给你平方和，此方法优先。

Answer 2

法一：配方，
z=(m+(n-1)/2)^2+3/4n^2-3/2n-1/4
>=3/4n^2-3/2n-1/4
>=-1
法二：换元
令m=kn
z=k^2n^2+(n-1)kn+n^2-2n
=(k^2+k+1)n^2-(k+2)n
二次函数对称轴n=(k+2)/2(k^2+k+1)
代入原式
z>=(k+2)^2/4(k^2+k+1)-(k+2)^2/2(k^2+k+1)
z>=-(k+2)^2/4(k^2+k+1)
z>=-1/[(3k^2/(k+2)^2)+1]
故3k^2/(k+2)^2最小，z最小
即k=0时z最小
此时
m=0
n=1
z=-1