Question

高数函数的连续性问题（具体过程）

f(X)=1/xsinx,(x<0)
f(X)=k, (x=0)
f(X)=xsin1/x+1, (x>0)

问常数K为何值时，f(x)在其定义域内连续?

Answer 1

k=1时，f(x)在其定义域内连续
f(X)=1/xsinx,(x<0)
x左趋近于0，由“两个重要极限”可以知道，此时limit f(x)=1；
f(X)=xsin1/x+1, (x>0)
x右趋近于0，由于sin（1/x)是有界的，在[-1,1]内，而x趋于0为无穷小，由极限定理“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”，即limit xsin1/x=0，因此此时limit f(x)=1；
f(X)=k, (x=0)
要使f（x）连续，根据定义，在x=0处f（x）应该等于x<0和x>0处的值，故k=1

Answer 2

求出函数在从-∞，即函数左边到0的极限和再求从+∞，即函数右边到0的极限
若两个极限相等，则令k=这个相同的极限值，那么函数就连续
若两个极限不相等，则函数在x=0处无极限，即函数不连续