Question

高一数学题（10.7晚上之前要）

一.已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
1.求证：f(x)是奇函数
2.若f(-3)=a,试用a表示f(12).

二.定义在(-2,2)上的偶函数f(x),满足f(1-a)＜f(a),又当x≥0时，f(x)是减函数，求a的取值范围。

三.设a∈R，二次函数f(x)=ax²-2x-2a.若f(x)＞0的解集为A，B={x│1＜x＜3}，A∩B≠Φ（空集），求实数a的取值范围。
四.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为______。

五.1.设集合A={a,b,c}，B={0,1}。试问：从A到B的映射共有几个？
2.集合A有元素m个，集合B有元素n个，试问：从A到B的映射共有几个？

Answer 1

1.解，1。 令X=Y=0
得 f(0)=0
令X=-Y 得 f(0)=f(X)+f(-X).
所以f(X)=-f(-X).
2，f(-3)=a
所以f(-3)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=a
则f(-1)=a /3 所以 f(1)=-a /3
f(12)=-4a

2.当x≥0时,f(x)是减函数，所以
在（－2，0]时是增函数
在[0,2）时时减函数
可得不等式
-2<1-a≤0
-2<a≤0
1-a≤a
无实解
或者
0≤1-a<2
0≤a<2
1-a>a
得0≤a<1/2

3.A交B不等于空集的反面是A交B等于空集.令A交B等于空集,求a的取值范围.
(1)当a=0,f(x)=-2x>0的解是x<0.
(2)当a>0,f(x)图象的对称轴在大于0的范围内,画图可知应有f(3)≤0,
则0<a≤6/7
(3)当a<0,f(x)图象的对称轴在小于0的范围内,画图可知应有f(1）≥0,
则-2≤a<0
则A交B等于空集时-2≤a≤6/7.

4.因为此函数是定义在R上的奇函数,说明此函数过原点,则f(0)=0.
由题可知,当x=0时,f(0+2)=-f(0)=0,
可知此函数是以2为周期的一个奇函数.
所以:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=-[-f(2)]=f(2),
由上得f(2)=0
所以得f(6)=0.

5.
1.
1 a=0 b=0 c=0
2 a=0 b=0 c=1
3 a=0 b=1 c=0
4 a=0 b=1 c=1
5 a=1 b=0 c=0
6 a=1 b=0 c=1
7 a=1 b=1 c=0
8 a=1 b=1 c=1
所以有8种..
要算的话是2*2*2=8
2.N的M次方

Answer 2

1. 令X=Y=0
得f(0)=f(0)+f(0).
f(0)=0
令Y=-X
f(0)=f(x)+f(-X)=0.
得f(-x)=-f(x).
所以f(x)是奇函数

Answer 3

设X=Y=0
f（0+0）=f（0）+f（0）
f（0）=2f（0）
f（0）=0
所以为奇函数

f（12）=f（3+3+3+3）=f（3）+f（3）+f（3）+f（3）
因为f（x）为奇函数
所以f（-3）=-f（3）=-a
所以f（12）=-a-a-a-a=-4a

下面的不会

Answer 4

一.已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
1.求证：f(x)是奇函数
因为f(x+y)=f(x)+f(y)
令x＝0
则f(0+y)=f(0)+f(y)
得f(0)＝0

所以f(x)+f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0
又因为x是任意实数
所以f(x)为R上的奇函数

2.若f(-3)=a,试用a表示f(12).
因为f(x)为R上的奇函数
故f(3)=-f(-3)=-a
因为f(x+y)=f(x)+f(y)
故f(6)=f(3)+f(3)=-a+(-a)=-2a
f(12)=f(6)+f(6)=-2a+(-2a)=-4a

二.定义在(-2,2)上的偶函数f(x),满足f(1-a)＜f(a),又当x≥0时，f(x)是减函数，求a的取值范围。
当x≥0时,f(x)是减函数，所以
在（－2，0]时是增函数
在[0,2）时时减函数
可得不等式
-2<1-a≤0
-2<a≤0
1-a≤a
无实解
或者
0≤1-a<2
0≤a<2
1-a>a
得0≤a<1/2

三.设a∈R，二次函数f(x)=ax²-2x-2a.若f(x)＞0的解集为A，B={x│1＜x＜3}，A∩B≠Φ（空集），求实数a的取值范围
因为f(x)是二次函数，所以a≠0
f(x)的根的判别式△=4+8a²>0，所以f(x)的图像与x轴一定有两个交点。

如果直接按A∩B≠Φ来算会很麻烦，那就反过来，求A∩B=Φ时a的取值范围，最终结果再反回去就行了。

1、若a>0，f(x)的图像开口向上，那么f(x)>0的解集为两根之外，f(x)的图像与区间（1，3）的位置关系有如图1—图6所示的6种情况，使A∩B=Φ，则只有第1种情况。由图可知
f(1)≤0且f(3)≤0，即
a-2-2a≤0且9a-6-2a≤0
联立这个不等式组并结合a>0解得
0<a≤6/7

2、若a<0，f(x)的图像开口向下，那么f(x)>0的解集为两根之内，f(x)的图像与区间（1，3）的位置关系也有如图7—图12所示的6种情况，使A∩B≠Φ，则只有第11、12两种情况。
令f(x)=ax²-2x-2a=0
解得图像与x轴的两个交点为x=[1±√(1+4a²)]/a
注意，因为a<0，所以两个根中，[1-√(1+4a²)]/a为大根，[1+√(1+4a²)]/a为小根。
使A∩B=Φ，则有
[1-√(1+4a²)]/a≤1或[1+√(1+4a²)]/a≥3
联立这个不等式组并结合a<0得
√(1+4a²)≤1-a或√(1+4a²)≤3a-1
因为a<0，所以后一个式子√(1+4a²)≤3a-1<0是不成立的，只有
√(1+4a²)≤1-a
两边平方并结合a<0解得
-2/3≤a<0

综上所述，A∩B=Φ时，a的取值范围为：0<a≤6/7或-2/3≤a<0，
反之，A∩B≠Φ时，a的取值范围为（保证a≠0）：a<-2/3或a>6/7

四.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为___-f(0)___。

f(x+2)=-f(x)
故f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=-(-f(2))=f(2)=f(0+2)=-f(0)

五.
1.设集合A={a,b,c}，B={0,1}。试问：从A到B的映射共有几个？
有8个 就是a b c分别为0和1的组合 2的3次方

2.集合A有元素m个，集合B有元素n个，试问：从A到B的映射共有几个？
n的m次方

Answer 5

1.解.令X=Y=0
得 f(0)=0
令X=-Y 得 f(0)=f(X)+f(-X).
所以f(X)=-f(-X).
所以f(x)是奇函数

f(-3)=a
所以f(-3)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=a
则f(-1)=a /3 所以 f(1)=-a /3
f(12)=-4a
2.定义在<-2,2>上的偶函数f(x)在区间<0,＋2>上单调递减，
因为f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x),函数图像关于y轴对称，
所以f(x)在区间<-2,0>上单调递增。
f(1-a)<f(a),
分四种情况讨论：
（1）0<=1-a<=2,0<=a<=2，得0<=a<=1,
则由f(x)在区间<0,2>上单调递减有，1-a>a,2a<1,a<1/2,
从而0<=a<1/2;
（2）-2<=1-a<=0->1<=a<=3,
-2<=a<=0,没有交集，说明这种情况不存在;
（3）0<=1-a<=2,-2<=a<=0，得-1<=a<=0,
f(1-a)<f(a)=f(-a),由f(x)在区间<0,2>上单调递减有，
1-a>-a,1>0, 显然成立，
从而-1<=a<=0；
（4））-2<=1-a<=0，0<=a<=2，得1<=a<=2,
f(1-a)=f(a-1)<f(a),由f(x)在区间<0,2>上单调递减有,
a-1>a,-1>0, 显然无解，所以这种情况也不存在；

所以综上所述数a的取值范围：
0<=a<1/2或-1<=a<=0，即-1<=a<1/2.
3.
因为f(x)是二次函数，所以a≠0
f(x)的根的判别式△=4+8a²>0，所以f(x)的图像与x轴一定有两个交点。

如果直接按A∩B≠Φ来算会很麻烦，那就反过来，求A∩B=Φ时a的取值范围，最终结果再反回去就行了。

1、若a>0，f(x)的图像开口向上，那么f(x)>0的解集为两根之外，f(x)的图像与区间（1，3）的位置关系有如图1—图6所示的6种情况，使A∩B=Φ，则只有第1种情况。由图可知
f(1)≤0且f(3)≤0，即
a-2-2a≤0且9a-6-2a≤0
联立这个不等式组并结合a>0解得
0<a≤6/7

2、若a<0，f(x)的图像开口向下，那么f(x)>0的解集为两根之内，f(x)的图像与区间（1，3）的位置关系也有如图7—图12所示的6种情况，使A∩B≠Φ，则只有第11、12两种情况。
令f(x)=ax²-2x-2a=0
解得图像与x轴的两个交点为x=[1±√(1+4a²)]/a
注意，因为a<0，所以两个根中，[1-√(1+4a²)]/a为大根，[1+√(1+4a²)]/a为小根。
使A∩B=Φ，则有
[1-√(1+4a²)]/a≤1或[1+√(1+4a²)]/a≥3
联立这个不等式组并结合a<0得
√(1+4a²)≤1-a或√(1+4a²)≤3a-1
因为a<0，所以后一个式子√(1+4a²)≤3a-1<0是不成立的，只有
√(1+4a²)≤1-a
两边平方并结合a<0解得
-2/3≤a<0

综上所述，A∩B=Φ时，a的取值范围为：0<a≤6/7或-2/3≤a<0，
反之，A∩B≠Φ时，a的取值范围为（保证a≠0）：a<-2/3或a>6/7